NUMÉRATION

NUMÉRATION

Le problème de la numération est celui de la désignation des nombres. Les nombres sont définis de manière intrinsèque, indépendamment de leur nom, et la façon de les désigner dépend du langage, du «code» choisi. Pour comprendre en quoi consiste la numération, il est important d’abord de savoir distinguer un nombre de ses représentations dans divers «systèmes de numération». Les nombres entiers naturels sont définis dans l’article AXIOMATIQUE; nous ne rappelons d’abord ici que les notions élémentaires les concernant.

Les entiers naturels

Bijections

Une application f d’un ensemble A sur un ensemble B est dite une bijection lorsque:

– tout élément de B est l’image par f d’un élément de A (surjection);

– deux éléments distincts de A ont toujours pour images par f deux éléments distincts de B (injection).

Lorsqu’il existe une bijection de A sur B, il en existe aussi une de B sur A, et on dit que A et B ont autant d’éléments. C’est une notion très simple, car on peut voir si deux ensembles ont autant d’éléments sans compter ces éléments.

Ainsi, les bergers de l’Antiquité utilisaient des cailloux (d’où le nom de «calcul») pour faire rentrer le soir autant de moutons qu’ils en avaient fait sortir le matin; de même, lorsqu’on voit de nombreux couples danser sur une scène, malgré l’animation et sans compter, on sait immédiatement qu’il y a autant d’hommes que de femmes; remarquons enfin que, dès l’école maternelle, les enfants savent qu’ils ont autant de doigts à une main qu’à l’autre, aux mains qu’aux pieds, qu’il y a autant de tasses que de soucoupes, etc., et cela parce qu’ils savent réaliser les bijections correspondantes.

Cardinaux

Plusieurs ensembles d’objets étant donnés, on peut opérer un classement en rangeant dans une même «classe» les ensembles ayant autant d’éléments. Les ensembles d’une même classe sont dits «équipotents». Ces exercices présentent l’inconvénient de ne porter que sur des ensembles finis, mais permettent de bien mettre en évidence la notion d’équipotence entre ensembles.

L’équipotence entre ensembles est réflexive, symétrique et transitive, mais on peut remarquer que l’on commet un abus de langage lorsqu’on dit que c’est une «relation d’équivalence». En effet, les relations sont définies seulement sur des ensembles, or l’équipotence est définie sur la «collection de tous les ensembles», de même que l’appartenance ou l’égalité des ensembles.

Les cardinaux peuvent être considérés comme les «classes d’équivalence» déterminées par cette «pseudo-relation» sur la collection de tous les ensembles: les ensembles d’une même classe ont donc en commun la propriété d’avoir «même cardinal».

Nombres entiers

Aspect «cardinal»

On peut être tenté de définir le «nombre d’éléments» d’un ensemble comme la propriété commune à tous les ensembles qui ont même cardinal que lui; dans ce cas, «nombre» et «cardinal» seraient synonymes. Mais, en réalité, seuls les cardinaux finis sont des nombres entiers.

On peut prendre comme définition: Un ensemble est fini si et seulement s’il n’est équipotent à aucune partie stricte de lui-même.

Aspect «ordinal»

Si l’on construit une suite d’ensembles dont le premier est vide et tels que, à partir du deuxième (auquel on donnera le numéro un), chacun s’obtient en recopiant le précédent et en lui adjoignant un objet et un seul, c’est-à-dire que chaque ensemble a exactement «un objet de plus» que le précédent, ce qu’on matérialise ainsi n’est autre que la construction des «ordinaux finis» par:

qui sont respectivement de cardinal:

(cf. l’étude des ordinaux dans théorie des ENSEMBLES – Théorie axiomatique des ensembles, chap. 2).

Or deux ordinaux finis de même cardinal sont isomorphes; on peut sans danger les confondre et les identifier à leur cardinal; mais, selon les situations, c’est l’aspect ordinal ou l’aspect cardinal du nombre naturel considéré qui intervient.

Numération des entiers naturels

L’ensemble des entiers naturels étant construit, la question se pose de «nommer» ces nombres oralement et par écrit. Il apparaît vite qu’il n’est pas possible d’inventer un nom pour chaque nombre indépendamment des précédents; il est encore moins possible de lui trouver un symbole pour l’écriture. Chaque civilisation s’est donc donné un «alphabet» particulier et des règles de formation pour les «mots», au sens de «combinaisons de symboles» ^{[cf. NOTATION MATHÉMATIQUE]}.

Le système adopté par la civilisation occidentale utilise actuellement les symboles:

qui constituent l’alphabet à partir duquel on écrit les nombres en appliquant le principe dit de «numération de position» avec une base constante.

Numération de position à base constante

Soit B un entier naturel fixe, dit «base»; une unité de chaque ordre vaut B unités de l’ordre précédent.

Par suite de l’unicité du quotient et du reste dans la division euclidienne (cf. DIVISIBILITÉ, chap. 1), tout entier naturel a peut s’écrire d’une manière et d’une seule sous la forme:

où les a ⁰, a ¹, ..., aⁿ sont des entiers naturels strictement inférieurs à B et où a ⁿ est non nul.

La numération de position revient à représenter le nombre en écrivant seulement les coefficients de ce polynôme (mais tous les coefficients nuls ou non, de manière que leur place soit définie sans ambiguïté), donc à désigner le nombre précédent par:

ou, plus généralement, lorsque aucune confusion n’est possible, en omettant l’indication de la base, par:

et même sans surlignage par:

(pour l’introduction du zéro, cf. NOTATION MATHÉMATIQUE). Ainsi, le mombre «neuf» s’écrit:

Une erreur est à éviter: il faut se garder de lire «mille un» pour 1001^(deux); on doit lire la suite des chiffres écrits de gauche à droite dès que le nombre est écrit dans une base différente de dix. Il serait également maladroit d’écrire la base en chiffres, car on ne saurait pas de quel nombre il s’agit (sauf lorsque l’on convient que les bases sont toujours exprimées dans la base dix, par exemple).

Le système décimal est le système de numération de position où la base est dix, c’est-à-dire que les unités du deuxième ordre (les «dizaines») valent dix unités du premier ordre, les unités du troisième ordre (les «centaines») valent dix unités du deuxième ordre, etc. Prenons, par exemple, 8 345:

Le système binaire est le système de numération de position où la base est deux: l’alphabet est composé des deux seuls chiffres 0 et 1. Ce système est très utilisé, car les machines à deux états (machines électriques ou électroniques, par exemple) peuvent réaliser une représentation des nombres entiers par leur désignation binaire, les deux états de la machine étant, dans le code, la traduction du 0 et du 1. Ainsi, «neuf» peut être codé par un top suivi de deux blancs puis d’un autre top.

Lorsque la base est supérieure à dix, il est nécessaire d’adjoindre aux chiffres habituels de nouveaux symboles. Par exemple, en base douze, on utilisera:

Numération de position à base non constante

On peut voir que, dans de nombreuses civilisations ^{[cf. NOTATION MATHÉMATIQUE]}, le système de numération est un système positionnel à base non constante: il est analogue au système défini plus haut, mais les unités des divers ordres ne sont pas toutes les puissances de l’unité du premier ordre. Les unités de chaque ordre étant définies, tout nombre naturel s’écrit encore d’une manière et d’une seule dans le système déterminé par ces unités en opérant des divisions euclidiennes successives comme dans les cas à base constante.

Comparaison de deux nombres et opérations

Deux nombres écrits dans le même système de numération de position peuvent être comparés: on a vu qu’un même nombre ne peut s’écrire que d’une seule manière dans un système donné. Soit deux nombres a et b :

si m 麗 n , alors b 麗 a ; si m 礪 n , alors b 礪 a ; si m = n , alors, ou bien, si a ⁿ b ⁿ , a et b sont dans le même ordre que a ⁿ et b ⁿ , ou bien, si a ⁿ = b ⁿ , a et b sont dans le même ordre que a ⁱ et b ⁱ , l’entier i étant le plus grand entier p tel que a ^p b ^p .

Pour les opérations, le système de numération a des implications sur les techniques opératoires (retenues): la désignation du résultat d’une opération sur les entiers naturels est fonction de la désignation de ces nombres.

Apprentissage de la numération

On peut présenter, dès l’école primaire, des situations mettant en lumière les principes de numération que nous venons d’énoncer.

Citons d’abord des numérations à base non constante :

– dans de nombreux jeux, les enfants comptent les points gagnés en utilisant des jetons tels que, par exemple, cinq ronds valent un carré, deux carrés valent un rectangle, etc.;

– utilisation des pièces de monnaie courantes (centimes, sous, francs);

– décompte des voix obtenues à des élections en dessinant des blocs de cinq traits: par exemple, donne treize;

– calendrier et mesure du temps.

Les exemples d’enseignement scolaire de la numération à base constante sont évidemment nombreux:

– le boulier traditionnel, très utilisé encore actuellement dans certains pays pour l’apprentissage des opérations;

– les exercices de groupement par paquets (trois billes dans un sac, trois sacs dans une boîte, trois boîtes dans une caissette, etc.);

– le solfège: dès huit ans, les enfants savent qu’une ronde vaut deux blanches, une blanche vaut deux noires, une noire vaut deux croches, une croche vaut deux doubles croches...; ils utilisent donc ici la «numération binaire»;

– le matériel pédagogique: les «blocs multibases» utilisés dans l’enseignement primaire sont des ensembles de petits cubes, de barres, de plaques carrées et de grands cubes; pour compter en base trois, par exemple, on utilise des petits cubes, des barres formées de trois petits cubes accolés, des plaques formées de trois barres et des cubes formés de trois plaques; les enfants, pour compter le nombre d’éléments d’un ensemble d’objets, ont, d’abord, à prendre «autant» de petits cubes qu’il y a d’objets (en établissant une bijection), puis ils les regroupent, remplacent chaque ensemble de trois petits cubes par une barre, puis chaque ensemble de trois barres par une plaque et chaque ensemble de trois plaques par un grand cube (ce procédé ne permet pas de représenter des nombres à l’aide d’unités d’ordre supérieur au quatrième ordre);

– le «compteur humain» binaire (jeu présenté par T. L. Fletcher in L’Apprentissage de la mathématique aujourd’hui ): «Plusieurs enfants sont alignés (les mains baissées). Il leur est précisé que, dans la suite, leur main droite doit être nettement dirigée vers le haut ou vers le bas. L’enfant situé le plus à droite reçoit l’instruction de changer de position (du haut vers le bas ou du bas vers le haut) à chaque signal, un claquement de mains du professeur, par exemple; les autres changent de position quand la main de l’enfant à leur gauche se dirige en bas.»

C’est là une réalisation pédagogique du principe même des compteurs.

Nombres à virgule

De nombreux codages utilisés dans la pratique sont fondés non pas sur l’ordre des entiers, mais sur celui des nombres à virgule: par exemple les cotes des livres dans les bibliothèques modernes, le numérotage des maisons de certaines rues en bis , ter ...

On y est amené lorsqu’on veut pouvoir intercaler des éléments entre deux éléments quelconques. Il s’agit d’un ordre analogue à celui des dictionnaires; c’est pourquoi on l’appelle aussi «ordre lexicographique». Cette question est en relation avec celle du repérage sur une demi-droite.

Construction de nombres à virgule binaires

Entre 0 et 1 on introduit un nombre noté «0,1»; entre 0 et 0,1 on introduit un nombre noté «0,01»; entre 0 et 0,01 on introduit un nombre noté «0,001»; etc. De même, entre 1,1 et 1,11 on introduit un nombre noté «1,101», etc.

Un nombre à virgule binaire s’écrit donc comme un nombre entier en base deux suivi d’une virgule et d’une suite de «0» et de «1» en nombre fini avec la propriété que tout nombre est égal à tous ceux qu’on peut écrire en adjoignant des zéros à sa droite. Par exemple:

Nombres à virgule de base quelconque

On construit les nombres «décimaux» à partir des nombres naturels en introduisant neuf nouveaux nombres entre deux nombres naturels consécutifs, puis encore neuf nombres entre deux nombres consécutifs ainsi déterminés, et ainsi de suite.

L’ensemble des entiers naturels apparaît donc comme sous-ensemble de l’ensemble des nombres décimaux, et ceux-ci sont écrits avec les symboles «0», «1», «2», «3», «4», «5», «6», «7», «8», «9» et le symbole de virgule «,».

De même que les nombres à virgule binaires ou décimaux, on peut considérer des nombres à virgule de n’importe quelle base. Il faut cependant noter que, tandis que pour les entiers naturels changer de base revenait à changer le nom des mêmes nombres, ici la base intervient dans la définition des nombres eux-mêmes; par exemple, le nombre à virgule ternaire 0,1 n’est pas un nombre décimal, car il s’agit du nombre rationnel 1/3 dont on sait que ce qu’on appelle le «développement décimal» s’écrit «0,333...3...» avec une infinité de chiffres «3».

numération [ nymerasjɔ̃ ] n. f.

• XIV^e; lat. numeratio

1 ♦ Arithm. Manière de rendre sensible la notion abstraite de nombre et d'en conserver la mémoire; système permettant d'écrire et de nommer les divers nombres. ⇒ chiffre. Numération concrète des primitifs (cailloux des anciens Romains, quipous des Incas, doigts de la main). Système de numération : ensemble de conventions et de méthodes permettant de nommer, d'écrire les nombres entiers naturels ( et par ext. tous les autres nombres) et d'effectuer des calculs sur les nombres. Base de numération : nombre de chiffres, y compris le zéro, qui servent de base pour former les autres nombres. Numération à base 2, ou binaire, à base 12 (⇒ duodécimal) , à base 10 (⇒ décimal) , à base 8 (⇒ octal) , à base 16 (⇒ hexadécimal) .

2 ♦ Action de nombrer, de compter; résultat de cette action. ⇒ compte. — Méd. Numération globulaire : dénombrement des cellules (hématies, leucocytes, plaquettes) du sang, effectué sur un échantillon de sang.

● numération nom féminin (latin numeratio, -onis) Action de compter, de dénombrer. Méthode qui permet l'écriture et la lecture des entiers naturels, puis, par prolongement, des décimaux et, par extension, des réels. ● numération (difficultés) nom féminin (latin numeratio, -onis) Sens et emploi Ne pas confondre ces deux mots de forme proche mais de sens distincts. 1. Numération = action de compter, de dénombrer ; façon d'écrire les nombres et de les énoncer. Numération décimale, duodécimale, binaire. 2. Numérotation = attribution d'un numéro. La nouvelle numérotation téléphonique. Numérotation des pages de I à XXIV. ● numération (expressions) nom féminin (latin numeratio, -onis) Numération formule sanguine, examen biologique permettant de comptabiliser les différents éléments figurés du sang (plaquettes, globules rouges, différentes catégories de globules blancs). Numération globulaire, décompte du nombre absolu de cellules contenues dans un volume déterminé de sang.

numération

n. f.

d1./d Façon d'énoncer ou d'écrire les nombres. Numération romaine, arabe.

|| Système qui organise la suite des nombres en séries hiérarchisées. Numération à base 10 ou décimale. Numération à base 2 ou binaire.

d2./d Opération qui consiste à compter, à dénombrer.

— MED Numération globulaire: détermination de la concentration sanguine en globules rouges, en globules blancs et en plaquettes.

— GENET Numération chromosomique: dénombrement des chromosomes, qui peut permettre de déceler une anomalie génétique.

⇒NUMÉRATION, subst. fém.

A. —ARITHM., INFORMAT. Manière de concrétiser, de rendre sensible la notion abstraite de nombre (d'apr. LEIF 1974). Numération à base fixe; base de numération. La numération et le calcul commencent-ils sur des quantités discrètes et abstraites comme dans l'arithmétique? (COUSIN, Hist. philos. XVIII^e, t.2, 1829, p.410). Tout le monde sait que la numérotation c'est la numération, et que la numération, que le numéro fait le commencement de la science (PÉGUY, V.-M., comte Hugo, 1910, p.764):

• ♦ Te rappelles-tu, reprit-il, que Binôme, notre professeur de mathématiques, rabâchait tous les ans, dans sa première leçon sur la numération, qu'un demi-milliard est un nombre trop considérable pour que les forces de l'intelligence humaine pussent seulement en avoir une idée juste (...)?

VERNE, 500 millions, 1879, p.26.

♦Système de numération. Méthode systématique de représentation de la quantité à l'aide de signes ou de chiffres, de symboles et de règles conventionnelles (d'apr. BUREAU 1972). Il est vrai, comme le remarque Russell, que le système de numération des Grecs était si mauvais qu'il faisait du calcul un exploit (RUYER, Cybern., 1954, p.32). Le système de numération est caractérisé par sa base: système décimal à base 10, système binaire à base 2, etc. (GUILH. 1969).

♦Numération binaire. Numération qui utilise les chiffres binaires 0 et 1 (d'apr. GUILH. 1969). De cette propriété du système de numération binaire, Leibniz tirait la preuve de l'existence de Dieu (COUFFIGNAL, Mach. penser, 1964, p.30).

♦Numération cardinale, ordinale. Les moyens de la numération sont employés soit pour décrire des quantités, des proportions ou des grandeurs: c'est la numération cardinale; soit pour désigner la place d'un élément dans un ensemble: c'est la numération ordinale (BUREAU 1972).

♦Numération décimale. Système de numération à base 10, utilisant, pour représenter tous les nombres, les seuls chiffres allant de 0 à 9. Rien ne nous empêche d'inventer un autre système de numération que la numération décimale, mais une fois le système défini, tout se passe comme dans la nature, lorsqu'une réalité obéit à ses lois impliquées par sa structure (RUYER, Esq. philos. struct., 1930, p.199). La numération décimale écrite nous permet d'effectuer des opérations sur des nombres d'un nombre quelconque de chiffres (E. BOREL, Paradoxes de l'infini, 1946, p.15).

B. —Action de dénombrer, de compter; résultat de cette action.

1. Vx, DR. Il n'y a pas eu numération de deniers. La numération a eu lieu en présence des notaires (Ac. 1835, 1878).

2. BIOL. ,,Dénombrement des éléments figurés contenus dans un milieu biologique quelconque`` (Méd. Biol. t.3 1972). Numération des germes. La numération des chromosomes n'est vraiment possible que sur une vue polaire (PLANTEFOL, Bot.et biol. végét., t.1, 1931, p.79).

— En partic. ,,Technique de dénombrement bactérien ou leucocytaire dans le but d'apprécier la qualité hygiénique du lait`` (LUQ.-BOUD. Lait. 1981).

— HÉMATOL. Numération (globulaire). ,,Comptage du nombre des globules par mm³ de sang`` (DURANTEAU 1971). Les microcuves à numération ont été conçues vers 1875 par Malassez et par Hayem (BARIÉTY, COURY, Hist.méd., 1963, p.637). L'examen sera complété par une radiographie du côlon et une numération sanguine pour apprécier le degré d'anémie et d'infection (QUILLET Méd. 1965, p.170).

Prononc. et Orth.:[]. Ac. 1694, 1718: numeration, 1740-1878: -mé-. Étymol. et Hist. 1435 «dénombrement» (Nouv. Coutumier gén., éd. A. Bourdot de Richebourg, t.3, p.898); ca 1470 «action de compter» (E. MERCADE, Le Mystère de la Passion, éd. J.-L. Richard, 2322); 1484 «art de former, d'écrire et d'énoncer les nombres avec un nombre limité de mots, de signes» (N. CHUQUET, Triparty, p.41 ds GDF. Compl.); 1798 numération décimale (Ac.). Empr. au lat. numeratio «action de compter de l'argent». Fréq. abs. littér.:27.

numération [nymeʀɑsjɔ̃] n. f.

ÉTYM. XIV^e, rare jusqu'au XVI^e; lat. numeratio, du supin de numerare « compter ». → Nombrer.

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1 Arithm. Manière de rendre sensible la notion abstraite de nombre et d'en conserver la mémoire; système permettant d'écrire et de nommer les divers nombres. || Numération concrète (cailloux des anciens Romains, nœuds [quipous] des Incas, doigts de la main…). || Numération parlée, écrite. || Base de numération : nombre de chiffres, y compris le zéro, qui servent de base pour former les autres nombres. || Numération à base 12 (⇒ Duodécimal), à base 10 (⇒ Décennaire [vx], décimal). — (1790). || Numération décimale. || Numération binaire, à base 2. || Numération à principe additif, multiplicatif. || Numération par lettres, par chiffres (⇒ Numéral). || La numération, base du calcul.

0 (…) le système décimal prévalut chez presque tous les peuples (…) Cependant un système de base 12, divisible à la fois par 2, 3, 4, et 6, eût peut-être été plus pratique (…) Mais, l'homme ayant commencé par compter sur ses doigts, la base 10 imposée de temps immémorial par ce mode de calcul occupe dans la numération une position en quelque sorte inexpugnable.

René Taton, Hist. du calcul, p. 47.

2 Action de nombrer, de compter; résultat de cette action. ⇒ Compter. — Dr. Dénombrement des espèces lors d'un versement. — (1903). Méd. || Numération globulaire : dénombrement des globules (hématies, leucocytes, plaquettes) du sang, effectué sur un échantillon de sang placé sous le microscope.

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DÉR. Numératif.

Encyclopédie Universelle. 2012.